线性代数，原理不讲了。。。
1 /* 用于求整数解得方程组. */ 2 3 #include4 #include 5 #include 6 using namespace std; 7 8 const int maxn = 105; 9 10 int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var. 11 int a[maxn][maxn]; 12 int x[maxn]; // 解集. 13 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. 14 int free_num; 15 16 void Debug(void) 17 { 18 int i, j; 19 for (i = 0; i < equ; i++) 20 { 21 for (j = 0; j < var + 1; j++) 22 { 23 cout << a[i][j] << " "; 24 } 25 cout << endl; 26 } 27 cout << endl; 28 } 29 30 inline int gcd(int a, int b) 31 { 32 int t; 33 while (b != 0) 34 { 35 t = b; 36 b = a % b; 37 a = t; 38 } 39 return a; 40 } 41 42 inline int lcm(int a, int b) 43 { 44 return a * b / gcd(a, b); 45 } 46 47 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) 48 int Gauss(void) 49 { 50 int i, j, k; 51 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. 52 int col; // 当前处理的列. 53 int ta, tb; 54 int LCM; 55 int temp; 56 int free_x_num; 57 int free_index; 58 // 转换为阶梯阵. 59 col = 0; // 当前处理的列. 60 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) 61 { 62 // 枚举当前处理的行. 63 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) 64 max_r = k; 65 for (i = k + 1; i < equ; i++) 66 { 67 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; 68 } 69 if (max_r != k) 70 { 71 // 与第k行交换. 72 for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); 73 } 74 if (a[k][col] == 0) 75 { 76 // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列. 77 k--; 78 continue; 79 } 80 for (i = k + 1; i < equ; i++) 81 { 82 // 枚举要删去的行. 83 if (a[i][col] != 0) 84 { 85 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); 86 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); 87 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. 88 for (j = col; j < var + 1; j++) 89 { 90 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb; 91 } 92 } 93 } 94 } 95 Debug(); 96 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 97 for (i = k; i < equ; i++) 98 { 99 // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.100 if (a[i][col] != 0) return -1;101 }102 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.103 // 且出现的行数即为自由变元的个数.104 if (k < var)105 {106 // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.107 for (i = k - 1; i >= 0; i--)108 {109 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.110 // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.111 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.112 for (j = 0; j < var; j++)113 {114 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;115 }116 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.117 // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.118 temp = a[i][var];119 for (j = 0; j < var; j++)120 {121 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];122 }123 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.124 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.125 }126 return var - k; // 自由变元有var - k个.127 }128 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.129 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.130 for (i = var - 1; i >= 0; i--)131 {132 temp = a[i][var];133 for (j = i + 1; j < var; j++)134 {135 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];136 }137 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.138 x[i] = temp / a[i][i];139 }140 return 0;141 }142 143 int main(void)144 {145 freopen("Input.txt", "r", stdin);146 int i, j;147 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)148 {149 memset(a, 0, sizeof(a));150 memset(x, 0, sizeof(x));151 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.152 for (i = 0; i < equ; i++)153 {154 for (j = 0; j < var + 1; j++)155 {156 scanf("%d", &a[i][j]);157 }158 }159 // Debug();160 free_num = Gauss();161 if (free_num == -1) printf("无解!\n");162 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");163 else if (free_num > 0)164 {165 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);166 for (i = 0; i < var; i++)167 {168 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);169 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);170 }171 }172 else173 {174 for (i = 0; i < var; i++)175 {176 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);177 }178 }179 printf("\n");180 }181 return 0;182 }